Claude взял «святой грааль» теории вероятностей

Представьте губку под струёй воды. При каком количестве открытых пор жидкость впервые просочится насквозь? Этот бытовой вопрос — вход в теорию перколяции, раздел теории вероятностей о проницаемости случайных сетей. Её центральная гипотеза полвека не поддавалась лучшим математикам мира, а немецкий математик Бенедикт Янель из Технического университета Брауншвейга недавно сформулировал ставку так: «Если кто-то сумеет решить эту задачу, он, вероятно, получит Филдсовскую премию». Решил её — Claude. Anthropic опубликовала доказательство гипотезы, сгенерированное языковой моделью, и Scientific American посвятил ему разбор.

Задача, на которой сломался филдсовский лауреат

Теория перколяции родилась в 1957 году, когда Саймон Бродбент и Джон Хаммерсли моделировали протекание жидкостей через пористую среду как гигантскую систему труб, каждая из которых открыта с вероятностью p. Главный объект интереса — порог p_c: выше него в системе почти наверняка существует бесконечный связный кластер открытых труб, ниже — нет. Сами пороги вычислить чудовищно сложно: Харри Кестен в 1980-м доказал, что для плоской квадратной решётки p_c = 1/2, и таких точных результатов с тех пор набралось единицы.

Но важнейший вопрос области — не значение порога, а характер перехода через него: меняется ли вероятность принадлежности к бесконечному кластеру непрерывно или скачком. Для одномерных и двумерных решёток непрерывность доказана давно, для размерностей от одиннадцати и выше — тоже (там у точек так много соседей, что работает статистическое усреднение). А вот размерности с 3 по 10 — включая наше физическое пространство — оставались белым пятном и считались «святым граалем» области.

Среди тех, кто пытался и не смог, — француз Гуго Дюминиль-Копен, получивший Филдсовскую премию 2022 года именно за фазовые переходы в статистической физике. Ирония в том, что буквально за несколько дней до публикации Anthropic филдсовский лауреат публично предсказал, что задачу возьмёт ИИ. Предсказание сбылось быстрее, чем кто-либо ожидал.

«Результат вызвал двойственные чувства»

Реакция математиков далека от праздничной. «Наряду с радостью, что гипотеза наконец доказана, было определённое разочарование, что финальный, решающий шаг сделал ИИ», — признаётся Янель. Он задаёт вопрос, который ещё год назад звучал бы абсурдно: будут ли вообще существовать Филдсовские премии — а если будут, то кому их вручать? «Медали Филдса часто вручались за доказательство теорем. Попадёт ли когда-нибудь человек в такой список снова — вопрос открытый».

Тред в r/singularity собрал 700 апвоутов, и лучший комментарий зафиксировал смену эпохи одной фразой: за год дискуссия прошла путь от «ИИ не умеет в математику» до «ИИ решает открытые исследовательские проблемы быстрее, чем ожидалось». Спорили в основном о том, что считать «святым граалем» — пуристы настаивали, что настоящий грааль чистой математики должен быть важен только для самой чистой математики, и перколяция с её физическими приложениями под определение не подходит.

Третья за месяц

Темп событий важнее любого отдельного результата. Сентябрь начался со скандального решения Навье–Стокса от OpenAI, продолжился открытым письмом математиков с требованием правил игры, а на этой неделе агенты Sonnet 5.5 закрыли задачу Томсона для N=7 формальным Lean-доказательством. Перколяция — третий крупный математический результат ИИ за месяц, и первый, о котором сообщество узнало не из пресс-релиза с оговорками, а из коммита с доказательством.

Дюминиль-Копен, чьи многолетние безуспешные атаки на гипотезу попутно породили целые направления в статистической физике, видит в происходящем не только угрозу: понимание, говорит он, рождается не только из теорем, но и из неудач. Янель формулирует надежду осторожнее: математикам придётся перестать строить самоощущение на доказательстве гипотез — останутся постановка задач, перевод доказательств на человеческий язык и учебники. Что из этого ИИ оставит людям надолго, после такого месяца предсказывать не берётся никто.